FUNKCJA LINIOWA
Definicja:
Funkcja liniowa to rodzaj funkcji matematycznej, która jest opisana równaniem liniowym. Ogólna postać równania funkcji liniowej jest: f(x) = ax + b, gdzie "a" i "b" są stałymi liczbami rzeczywistymi, a "x" jest argumentem funkcji.
Współczynniki "a" i "b":
- Współczynnik "a" jest zwany współczynnikiem nachylenia lub współczynnikiem kierunkowym. Określa on nachylenie linii na wykresie funkcji liniowej.
- Współczynnik "b" jest nazywany wyrazem wolnym. Określa on przesunięcie linii wzdłuż osi pionowej (osi y).
Wykres funkcji liniowej:
- Wykres funkcji liniowej to linia prosta na płaszczyźnie kartezjańskiej.
- Nachylenie linii jest określone przez współczynnik "a". Linia jest nachylona w górę, jeśli "a" jest dodatnie, i w dół, jeśli "a" jest ujemne.
- Wyraz wolny "b" określa, gdzie linia przecina oś y.
Przykłady
- Rozważmy funkcję liniową f(x) = 3x - 2.
- Współczynnik nachylenia "a" wynosi 3, co oznacza, że linia ma nachylenie 3 w górę.
- Wyraz wolny "b" wynosi -2, co oznacza, że linia przecina oś y w punkcie (0, -2).
Monotoniczność funkcji liniowej
Funkcja liniowa rosnąca:
- Jeśli współczynnik nachylenia "a" w równaniu funkcji liniowej f(x) = ax + b jest dodatni (a > 0), to funkcja jest monotonicznie rosnąca.
- To oznacza, że im większa wartość argumentu x, tym większa jest wartość funkcji f(x).
- Wykres funkcji liniowej rosnącej jest linia prosta o nachyleniu w górę.
Przykład funkcji liniowej rosnącej: f(x) = 2x + 3. Współczynnik nachylenia "a" wynosi 2, co jest większe od zera, co oznacza, że ta funkcja jest monotonicznie rosnąca.
Funkcja liniowa malejąca:
- Jeśli współczynnik nachylenia "a" w równaniu funkcji liniowej f(x) = ax + b jest ujemny (a < 0), to funkcja jest monotonicznie malejąca.
- To oznacza, że im większa wartość argumentu x, tym mniejsza jest wartość funkcji f(x).
- Wykres funkcji liniowej malejącej jest linia prosta o nachyleniu w dół.
Przykład funkcji liniowej malejącej: f(x) = -2x + 3. Współczynnik nachylenia "a" wynosi -2, co jest mniejsze od zera, co oznacza, że ta funkcja jest monotonicznie malejąca.
Prostopadłość prostych:
- Dwie proste są do siebie prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników nachylenia wynosi -1.
- Innymi słowy, jeśli m_1 i m_2 są współczynnikami nachylenia dwóch prostych, to są one do siebie prostopadłe, jeśli
m_1 * m_2 = -1.
Przykład: Prosta o współczynniku nachylenia 2 jest prostopadła do prostej o współczynniku nachylenia -1/2, ponieważ (2) * (-1/2) = -1.
Równoległość prostych:
- Dwie proste są do siebie równoległe, gdy mają ten sam współczynnik nachylenia.
- Innymi słowy, jeśli m_1 i m_2 są współczynnikami nachylenia dwóch prostych, to są one do siebie równoległe, jeśli m_1 = m_2.
Przykład: Dwie proste o współczynnikach nachylenia 3 są do siebie równoległe.
Rozwiązania układów równań liniowych
Układ oznaczony:
- Układ jest oznaczony, gdy ma dokładnie jedno rozwiązanie, które spełnia wszystkie równania w tym układzie.
- Oznacza to, że jesteśmy w stanie jednoznacznie określić wartości wszystkich niewiadomych w układzie.
Przykład układu oznaczonego:
Układ nieoznaczony:
- Układ jest nieoznaczony, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań, które spełniają wszystkie równania w układzie.
- To oznacza, że istnieje wiele zestawów wartości niewiadomych, które spełniają te równania.
Przykład układu nieoznaczonego:
Układ sprzeczny:
- Układ jest sprzeczny, gdy nie ma żadnych rozwiązań, które spełniałyby wszystkie równania w układzie.
- Oznacza to, że równania są ze sobą niezgodne i nie ma możliwości znalezienia takich wartości niewiadomych, które spełniłyby wszystkie równania jednocześnie.
Przykład układu sprzecznego:
Skrótowe równanie liniowe:
Funkcję liniową można również zapisać w bardziej ogólnym formacie jako: f(x) = mx + c, gdzie "m" oznacza współczynnik nachylenia, a "c" oznacza wyraz wolny.
Wartości funkcji liniowej:
- Funkcja liniowa przyjmuje każdą wartość rzeczywistą jako swój argument.
- Wartość funkcji liniowej (f(x)) jest liniową funkcją jej argumentu (x).
Zastosowania:
- Funkcje liniowe są szeroko stosowane w matematyce, ekonomii, fizyce i innych dziedzinach nauki.
- Służą do modelowania proporcjonalnych związków między wielkościami.
- Są używane do rozwiązywania równań liniowych i analizy danych.
Zadania
Zadania z rozwiązaniami
Zadania do samodzielnego rozwiazania
Rozwiązania
Inne strony z których można zdobyć wiedze z Funkcji Liniowej:
https://www.matemaks.pl › funkcja-liniowa
https://matura100procent.pl › funkcja-liniowa
https://pl.wikipedia.org › wiki › Funkcja_liniowa
Podsumowanie
Funkcje liniowe stanowią podstawę wielu zagadnień matematycznych i są ważne w życiu codziennym do modelowania i rozwiązywania różnych problemów.
Kontakt
Menu
Śledź nas
Strona www stworzona w kreatorze WebWave.