CIĄGI
Ciągi są ważnym zagadnieniem w matematyce, które zajmuje się badaniem kolejności liczb ułożonych w określonym porządku. Każda liczba w ciągu jest nazywana wyrazem ciągu, a sposób, w jaki te liczby się zmieniają, jest określany przez regułę ciągu.
Rodzaje Ciągów
Istnieje wiele różnych rodzajów ciągów, ale kilka z nich jest szczególnie istotnych:
Ciąg Arytmetyczny:
- W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o stałą liczbę, nazywaną różnicą.
- Ogólny wyraz ciągu arytmetycznego można zapisać jako: a_n = a_1 + (n - 1) * d, gdzie a_n to n-ty wyraz ciągu, a_1 to pierwszy wyraz, n to pozycja wyrazu, a d to różnica.
-
Suma Ciągu Arytmetycznego: S_n = (n/2) * [2a_1 + (n-1)d], gdzie S_n to suma n wyrazów ciągu, a_1 to pierwszy wyraz, n to liczba wyrazów, a d to różnica.
Przykład: Załóżmy, że mamy ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz (a_1) wynosi 3, a różnica (d) między kolejnymi wyrazami wynosi 2. Chcemy znaleźć pierwszych 5 wyrazów tego ciągu:
- a_1 = 3
- a_2 = a_1 + d = 3 + 2 = 5
- a_3 = a_2 + d = 5 + 2 = 7
- a_4 = a_3 + d = 7 + 2 = 9
- a_5 = a_4 + d = 9 + 2 = 11
Oto pierwszych 5 wyrazów ciągu arytmetycznego: 3, 5, 7, 9, 11.
W przypadku ciągu arytmetycznego, różnica między kolejnymi wyrazami jest stała (2 w tym przykładzie), co sprawia, że każdy następny wyraz jest o stałą wartość większy od poprzedniego.
Ciąg Geometryczny:
- W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałej liczby, nazywanej ilorazem.
- Ogólny wyraz ciągu geometrycznego można zapisać jako: a_n = a_1 * r^(n-1), gdzie a_n to n-ty wyraz ciągu, a_1 to pierwszy wyraz, n to pozycja wyrazu, a r to iloraz.
-
Suma Ciągu Geometrycznego: S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r), gdzie S_n to suma n wyrazów ciągu, a_1 to pierwszy wyraz, r to iloraz.
Przykład: Załóżmy, że mamy ciąg geometryczny, w którym pierwszy wyraz (a_1) wynosi 2, a iloraz (r) między kolejnymi wyrazami wynosi 3. Chcemy znaleźć pierwszych 5 wyrazów tego ciągu:
- a_1 = 2
- a_2 = a_1 * r = 2 * 3 = 6
- a_3 = a_2 * r = 6 * 3 = 18
- a_4 = a_3 * r = 18 * 3 = 54
- a_5 = a_4 * r = 54 * 3 = 162
Oto pierwszych 5 wyrazów ciągu geometrycznego: 2, 6, 18, 54, 162.
W przypadku ciągu geometrycznego, każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i stałej wartości (3 w tym przykładzie), co sprawia, że ciąg rośnie eksponencjalnie.
Monotoniczność ciągów
Ciąg Rosnący (rosnący):
- Ciąg jest uważany za rosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy lub równy od poprzedniego.
- Formalnie, ciąg (a_n) jest rosnący, jeśli dla każdej pary indeksów n i m, gdzie n < m, zachodzi a_n <= a_m.
Ciąg Malejący (malejący):
- Ciąg jest uważany za malejący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy od poprzedniego.
- Formalnie, ciąg (a_n) jest malejący, jeśli dla każdej pary indeksów n i m, gdzie n < m, zachodzi a_n >= a_m.
Ciąg Nierosnący (niemalejący):
- Ciąg jest uważany za nierosnący, gdy każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy od poprzedniego lub są równe.
- Formalnie, ciąg (a_n) jest nierosnący, jeśli dla każdej pary indeksów n i m, gdzie n < m, zachodzi a_n <= a_m.
Ciąg Niemalejący (niemalący):
- Ciąg jest uważany za niemalejący, gdy każdy kolejny wyraz jest większy lub równy od poprzedniego lub są równe.
- Formalnie, ciąg (a_n) jest niemalejący, jeśli dla każdej pary indeksów n i m, gdzie n < m, zachodzi a_n >= a_m
Ciąg stały
- Gdy wszystkie wyrazy ciagu są równe
Przykłady:
-
Dla ciągu (1, 2, 3, 3, 4, 5) mamy ciąg rosnący, ponieważ każdy kolejny wyraz jest większy lub równy od poprzedniego.
-
Dla ciągu (5, 4, 3, 3, 2, 1) mamy ciąg malejący, ponieważ każdy kolejny wyraz jest mniejszy lub równy od poprzedniego.
-
Dla ciągu (2, 2, 2, 2, 2, 2) mamy ciąg nierosnący i niemalejący, ponieważ wszystkie wyrazy są równe.
Zadania
Zadania z rozwiązaniami
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Odpowiedzi
Inne strony na których można zdobyć wiedze z ciągów
Kontakt
Menu
Śledź nas
Strona www stworzona w kreatorze WebWave.